高等数学同济第七版版下册习题全解完整版【精选推荐】

发布时间：2022-10-28 09:40:03 浏览数：次

下面是小编为大家整理的高等数学同济第七版版下册习题全解完整版【精选推荐】,供大家参考。

　高等数学同济第七版版下册习题全解

　HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

　y 2

　-1 O i T

　-2 图 10 - 1

　数，故

　/ , = J j ( x 2 + y 1 ) 3 d ( j = 2jj( x2 + y 1 ) 3 d c r .

　i)i

　又由于 D3 关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3 关于 y 是偶函数，故

　从而得

　jj( x 2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2 + y 2 ) 3 d a = 2/ 2 .

　/, = 4/2. (2) 利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：

　如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fi x, -y) = f(x,y) ,PJ

　jf/ ( x, y)da = 0；

　如果积分区域 D 关于：

　K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于：

　c 是奇函数，即

　/ ( ~ x, y) = - / ( 太， y) ，则

　= 0. D 3.利用二重积分定义证明：

　(1 ) jj da = ( 其中 ( 7 为的面积 ) ；

　( 2) JJ/c/( X , y) drr = Aj| y’ ( A: ， y) do■ ( 其中 A：

　为常数 ) ；

　, (3 ) JJ/ ( x,y )clcr = JJ/( x,y )drr + jJ/( x ,y) d cr 其中 /) = /)! U /) 2A 为两个

　尤公共内点的 WK 域 .

　证 ( 丨 ) 由于被枳函数 . / U, y) = 1 , 故山二 t 积分定义得

　jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A<r, = lim ^ Ac, = l i m cr = a. A—0

　( 2 ) Ji/ ( x, j) ( Ic7 = lim ^

　= A lim y/ ( ^ ( , i7, ) A( 7- , = k \ \ f{ x, y) Aa.

　A-° 台

　( 3 ) 因为函数 / U， y) 在闭区域 / ) 上可积，故不论把￡ ? 怎样分割，积分和的极限

　总是不变的.因此在分割 D 时 , 可以使和 / ) 2 的公共边界永远是一条分割线.这样

　fix. y) 在 A U D 2 上的积分和就等于 & 上的积分和加 D2 上的积分和，记为

　^/(^, ,17,) ACT, = ^/( ^, , 17,) ACT, + ^/(^, ,17,) ACT,.

　/)(U0,

　l)：

　令所有的直径的最大值 A- 0, 上式两端同时取极限，即得 J

　f( x, y) i\a

　= jjf( x, y)da + JJ/ ( xfy) da.

　Sa4 . 试确定积分区域 / ) ，使二重积分 ][(1 - 2x2 - y2) dly 达到最大值 .

　解由二重积分的性质可知，当积分区域 / ＞包含了所有使被积函数 1 - 2. v2 - V2 大

　于等于零的点，而不包含使被积函数 1 - 2/ - y2 小于零的点，即当￡ ? 是椭圆 2/ + y2 =

　l 所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.

　& 5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：

　( 1 ) Ju+ y) 2 山 7 与 J[ U，其中积分区域 D 是由 x 轴、 ^ 轴与直线 A + . 、 = 1 所围成；

　( 2 ) J(x + 7) 2 如与 ■ ，其中积分区域 0 是由圆周 ( . r- 2)2 + ( . v- l)2 = 2 所围成；

　( 3 ) I'M A；

　+ y) ( lor 与 ! " [ In( X + y) ] 2 ( 1 ( 7 ，其中 Z＞是三角形闭 K 域，三

　顶点分别为

　(1，0)，(1，1)，(2,0);

　( 4 ) Jpn(:r + y) dcr 与 In(:t + y) ] 2fW，其中 / ) = | (.r , . v) | 3

　解 ( 1) 在积分 K 域 0 上，故有

　(x + j) 3 ^ (x + y) 2.

　根据二重积分的性质 4 ，可得

　，0 彡、彡

　J(.r + y) \lrx ^ J (.\ + v)

　( 2 ) 由于积分区域 0 位于半平面 | (A:，V) | .V + 、

　(3) 彡 1 1 内，故在 / ) | : & (.f + y) 2 彡(A + y) 3

　(4) 从『("

　(5) J( v + ＞

　) ：

　drr ^ jj ( x + y) \lfr.

　( 6 ) 由于积分区域 D 位于条形区域 1 U， y) | 1 彡 1 + 7 彡 2 丨内，故知区域 / ) 上的点满足 0 彡 InU+ y) 彡 1，从而有 [ lnU+ y) ] 2 彡 lnU+ . y ) . 因此

　jj[ ln( A: + y) ] 2( Jo- ^

　+ y)d

　( 7 ) 由于积分区域 / ) 位于半平面丨 ( x， y) | . v+ y 彡 e| 内，故在 Z) 上有 ln( x+ y) 彡 1，从而：In (-v + ) ' ) ] 2 彡 In (:c + ) ' ) . 因此

　Jj^ 1 n(.r + y) ] 2dcr ^ Jln( x + y) da.

　3 6. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：

　(1) / = |^ (文+ )心，其中/ )= \ (x ,y ) n

　1,0

　1 |；

　( 2 ) / = j^ sin^ sin^do■ ，其中 / ) = j ( A: ,y) | 0 ^ ^ ^ TT ,0 ^ y ^ TT 1 ; i)

　( 3 ) / = J* (A ：

　+y + l) d( 7, 其中 />= { {x, y) | 0 ^ x^ l, 0 ^ j^ 2 [ ；

　( 4 ) / = J(x 2 + 4y2 + 9 ) do，其中 D = \ {x, y ) \ x2 + y2 ^ 4 | . I)

　解 ( 1) 在积分区域 D 上， 0 矣 ; < : 矣 1 , 0 英 y 矣 1 , 从而 0 矣巧 ( * + y) 矣 2 又￡ ? 的

　面积等于 1, 因此

　( 2 ) 在积分区域 / ) 上， 0 矣 sin J: 矣 1 ,0 ^ sin 1，从而 0 彡 sin2A：

　sin2y 彡 1 又

　0 的面积等于 TT2, W 此 ( 3 ) 在积分 K 域" 上有\ ^ x+y + \ 4, /) 的而积等于 2, 因此

　(4)

　(5)

　W 为在积分

　K 域/>?上有

　矣 ; t2

　2 y

　苳

　4,所以有

　+ 4 r2 + 9 ^ 4 ( x2 + y2 ) + 9 矣 2 5 .

　3 4 I) 的酣枳等于 4 TT，W 此

　3 6 TT ^ [ [ ( x2 + 4 / + 9 ) (Ur ^ lOO- ir.

　. ^ 1. 计算下列二甩积分 :

　二重积分的计算法

　于区是域 m.( 243| A)(:1CDlO)<S可可3(xJ用C十+不2y等)) (;式d+xda2c表3r4=x，-示2+IyV其为2+x)中yycd23o"+(s)是T3 xv.dc=由y"vaos+f=-两(d.—yd坐xv2i>fr]+标u((ls~文Xv轴xd2x)3及-h+=直TV3T| 2线.(r)4d2-dxXv+-V+2+、xv-、=2)2xc2h听.) 围dx成的j 闭20区域；

　用d不I 等b 式表示为 ( 3 J jj( xJ

　3 x2

　卜JC ( [0 s^inV(^.tA：+ y,) 0]

　+ v3 ) 7dTa，. 其中 D = (

　Q(^)X^TT.=.trJT ^V( sin 2.v x , v) 0 ^ A: ^ 1 . 0 ^

　fh 1

　；

　1X(-

　sin .v ) <1 x x( \ ( cos .v — 丄 (.<，s 2. v)

　( 4 ) jjxcas( X + Y j do■ ，其中 Z> 是顶点分别为 ( 0 . 0 j < 77 , 0 ) 和 ( 77 , 77 )

　的三角形闭

　& 2. _出枳分 ix:域，斤 i 卜 r): v 列 m 分:

　( 1 ) J^ ^ do■ ，其中 / ) 是由两条抛物线 7 = v^,y = * 2 所围成的闭区域；

　( 2 ) jfxy2 dcr, 其中 D 是由圆周 x2 + J2 = 4 及 y 轴所围成的右半闭区域；

　( 3 ) JV + ' dcr，其中 / ) = I ( % ， ) ) | | A；

　| + | J | ^ 1 ! ；

　x2 ^ y^ J^ ,

　0 矣 x 矣 1( 图 10- 2) .

　( 4 ) | " U2 + / - x)<lo，其中 D 是由直线 y : l、 y 二 xh : 2 * 所围成的闭区域 .

　解 ( 1) 0 可用不等式表示为

　于是 (2) D 可用不等式表示为

　0 ^ ^ / 4 - y2 , 2(图 10 -3),

　-2 矣 7 矣

　( 3 ) 如阁 I ( ) - 4 W = / \ U "2 其中 />1 = \ (x, y ) \ -x -\ ^y^Jc + 1,-1 ^a;^0|,

　I )2 = \ ( x , y ) |*-1

　因此

　Ea3 . 如果二重积分 | / ( . r, y) 心办的被积函数 / ( x， v) 是两个函数 / ] ( O 及 ) 的乘

　积，即 / ( X， y) = f \ ( x) . / “y) ，积分区域 / ) = { ( . V, y) I ( 1 ^ V ^ / > , r ^

　,证叫

　这个二重积分等于两个单积分的乘枳，即

　|*/|U) -/2(r) flatly = [ J/, (.v)(l.v] - [ [/：( > )^v]-

　证

　Jj. / 1 ( x )

　.,2 ( / ) dvd V ~ J [ f J \ ( v ) ■ . / ：

　t ^ ] l ^ x *

　在上式右端的第一次单枳分 f/ , ( .V)

　/2 ( .V) d v 中 , . / , ( A. ) 1J fu t 变招 : 、无关，nn 见为常数提到积分 5 外， W 此上式

　“

　端

　笏

　而在这个积分中，由于 f/2 ( y) d y 为常数，故又可提到积分号外，从而得到 f2 < , y) ^ xAy= [ | / 2( y) dj] - [ Jn / , ( x) dx]

　证毕. ^4.化二重积分

　/ = Jf(x，y)da 为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分)，其中积分区域￡> 是:

　( 1 ) 由直线及抛物线 y2 = 4 x 所围成的闭区域；

　( 2 ) 由 x 轴及半圆周 / + y2 = r2(y 英 0) 所围成的闭区域；

　( 3 ) 由直线 y = x，；c = 2 及双曲线：K = ^ - ( * > 0 ) 所围成的闭区域；

　(4)

　环形闭区域 IU， y) | 1 + y2^ 4 ( .

　解 ( 1 ) 直线 y= x 及抛物线 y2 = 4 ; c 的交点为 ( 0 , 0 ) 和 ( 4 , 4 ) ( 图 1 0 - 6) . 于是

　fix f( x, y) dy,

　/ = j[ dy^ / ( * ， y) tk. ( 2 ) 将/ ) 用不等式表示 ' fyO^ y^ r2 - x2 ， - r ^ W / ，于是可将/ 化为如下的先对 y、

　后对*的二次积分：

　/ = J (1 文 J f(x ,y)(\y

　如将

　0 叫不等式表示为 ~Vr2

　- y2 ^ x^ Vr2

　2 y

　,0 各/

　，则可将/化为如卜的先对*、后对 y 的二次枳分：

　(3)如图 10-7.

　: 条边界曲线dr两两相交，先x,y求) 得dx.3 个交点为 ( 1 , 1 ) ， 2 , y 和

　( 2, 2) . 于是

　| dxj[f(x,y)dy.

　注本题说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区域的边界曲线的情

　dy (i_/(^,y) + tlj /( x ,y) dx. 况，选取恰当的积分次序.本题中的积分区域/)的上、下边界曲线均分别由—个方程给出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况下采取先对 y、后对^的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用相反的枳分次序则需计算两个二次积分. 需要指出，选择积分次序时，还需考虑被积函数 /U , y) 的特点 . 具体例子 n] ' 见教材下册第 144 页上的例 2.

　J\x yy)dy + d.vl

　/ ( . r, v) d> -f

　/ ( A：

　, y)clr +

　% /T d.vl

　■y A - x 2 /(.v Vv) dv.

　/ ( . v, v) d.v -f .\/4 -、 /( \ , > )

　d.v -f

　-v^ W"

　厂

　/ ( v , y) ( l. \ .

　( 4 ) 将 D 按图 1 0 - 8( a) 和图 1 0 - 8( 1 > ) 的两种不同方式则分为 4 块，分别得

　x ,r) d.t. 图 10 -8

　, 5 . 设 / U， Y）在 D 上连续，其中 / ）是由直线 ; =

　域，证明

　所围成的闭区 dx| f(x,y)Ay

　证等式两端的二次积分均等于二重积分 J/ U, y） d o，因而它们相等 . ^ 6. 改换下列二次积分的积分次序：

　(2) J) dj|：

　f(x,y)dx 解（丨）所给二次积分等于二重积分 J[ / U， ; K）（ ^ ，其中 o = 丨 h， y） 1° ^ ^

　( 4 ) | 叫 2 f{x, y) dy-,

　(5) (lx\ f{x,y)Ay\

　/-sin

　( 6 ) I Ax\ J( x, y) Ay. JO J - siny

　^ r"

　0 ^ j ^ I （ . /> n|■改写为 | Uj） | * 矣 y 矣 1，0 ^

　^ I | （罔 10 - 9 ） , 于是

　原式 = 丄 <ixj/(x,y)dy.

　( 2 ) 所给一 . 次枳分等于二 ' Ti 积分 | / U, y) 山， . K: 中 / ) = I | . y2 ^ ^ < 2y, 0 ^21. M I) njm 为 {u’y) I 音矣 j ^ 7^,0 ^ x 在 4)( 1 冬 1 1(> - I0)， W 此

　原式 = J, i\ xjy/ ( x, y) i\ y.

　- y2 ^ .V ^ 1

　( 3 ) 所给二次积分等于二重积分 . 其中 D = : ( . v. v) | - 1

　$、飞

　X ^ J1 - y2 , 0 彡 > ? 彡 1 ; 又 D 可表示为：

　( JC，)*)丨 0 彡 y 彡 V 1 - . r2 , - 1 =

　( 图 10 - 11) ，因此

　原式 =J ^ dxj / ( x, v) dy.

　V彡 1

　( 4 ) 所给二次积分等于二重积分其中 D = : ( . v. v) ' 2 h

　s/lx - x1 % \ 彡 .r 彡 2 : . 又 D 可表示为：

　( A: , V) | 2 - 1 彡 .t 彡 1 + Y 1 — v2 , 0 : ( 图 10 12) ，故

　原式 = 丄 d)j f(x % y) dx.

　(5)

　所给二次积分等于二重积分］ | / ( . 10 ) ( 1 ^ , ) 1 : 中 / ) = 1 ( . v. v) | 0 ^ v ^

　x彡 e | 又 / ) 可表示为 | ( A: ，＞ ) | e、彡 A 彡 e，0 彡、彡 1 i ( | 劄 10 - 1, 故

　原式 = L ( I. 、 | ,./X . 、， . 、 ) ( l. v. ( 6 ) m 1 ( ) - 1 4 , 将积分 | > < : 域 / ) 丧示为 / ) , U/ ) 2 ，其中 A) , = j U，、 ) | arcsin > ^

　TT - arcsin (.r, y)

　y ，10 原

　彡arycsi彡n > 1 式

　1 =, DI 2

　dy f( xy

　y) c\x

　JO Jarcsin )

　一 2arcsin 是

　/ ( x, y) dx. y , 一 1 彡)'彡 0| . 于

　^ 7 . 设平面薄片所占的闭区域 D 由直线 ;t / x( . t, v) = x2 + y2, 求该薄片的质量 . 解 D 如图 10-15 所示.所求薄片的质

　= 2，y = 和 ; r 轴所围成，它的面密度

　M = jJ/ Lt( x 9 y) dcr = ^ dyj ( x2 + y2 ) dx

　rt -x + xy

　r[+(2”)3+2,

　12 | 冬| 10 - 15

　8. i | 灯 | l| 四个平而 A：

　= 0 ，y = 0 ，;t = I，v = I 所闲成的柱休被平面 z = 0 及

　2 .r + 3 y + z 6 藏得的立休的体积 .

　~ d\

　c\)

　''i

　o?Y

　= sin A

　的反闲数足

　= iirrsM

　-1

　足 ih y - Hin x = sin ( TT - x) "n!J TT - x ^ arcKin y,从 ifii

　得反闲数 ^

　( 子 ? 中， TT

　TT - iin-Hin y.

　解

　江力一 E J .它？芪是；c 0:. S 二苎泛 7：省。=

　0^；. €1 .了是芒

　- 2 x -3:. F 10 - ]6 . g - 护不二歹

　l = |( 6 - 2J：

　- 3;. dxdv = dx 6 - lx - 5 .

　d'.

　X .；, 0 矣二矣

　Sa9 . 求由平面 a: = 0,y = 0, ^ + : ，

　= ］所围成的柱体被平面 z = 0 及拉物面 ; c: ， : . ：

　=6 - : ￡ . 得的」 / . 体的体积 .

　解此立体为一曲顶柱体，它的底是 xOv 面上的闭区域 D=

　^ 1 -：，.

　，顶是曲面 Z= f) - < x2 + y2 ) ( ^ \ 1 0 - 1 7 > ，故体积

　dx^ ( 6 - x~

　V - (I 6 - ^ x2 + y2 ) dx(\y

　H.r

　\1_ 6

　6 ( 1 - x ) - x2 +

　——f 1

　10-17

　m 10 - 1 8

　这 10. 求由曲面 + 2/ 及 z= 6- 2x2 _ y2 所围成的立体的体积 . _ 2^2

　解由 = T + ' } ' 消去 z, 得 ; c2 + y2 = 2, 故所求立体在面上的投影 U = 6 2x2 - j2

　区域为 D = | ( x, y) | x2 + 〆矣 2 | ( 图 1 0 - 1 8 ) . 所求立体的体积等

　于两个曲顶柱体体积的差：

　V = ( 6 - 2 x2 - y2 ) dcr — x2 + 2 y2 ) dcr

　= JJ(6 - 3 ^ r2 - 3 y2 ) da = jj( 6 - 3 p2 ) pdpd0

　d0[ (6 - 3 p2 )pdp = 6TT. 注求类似于第 8,9,10 题中这样的立体体积时，并不一定要画出立体的准确图

　形，但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程，这就需要复习和掌握第八章中学过的空间解析几何的有关知识

　y 11. 両出积分区域，把积分 J[ / ( A：

　， y) d; cdy 表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区

　U 域 D 是：

　( 1 ) \ ( xyy) \ X2 + ^ y2 a2 I ( a > 0 ) ；

　( 2 ) | { xyy) \ x2 + y2 ^ 2^ | ；

　( 3 ) | ( x, y) | a2 彡 x2 + y1 彡 62 | ，其中 0 < a < 6;

　( 4 ) j ( xyy) | 0 ^ j ^ 1 - x, 0 ^ x 1 | .

　解 ( 1 ) 如图 1 0 - 1 9 , 在极坐标系中， 0 = | ( p， 0 ) | 0 彡 p 彡 a， 0 彡 ( 9 彡 2 TT1 ，故

　^j\x,y )Ax Ay - jj/(pcos 0，psin 6)pdp d0

　( 2) 如图 10- 20, 在极坐标系中， l) = ( p, 0)

　( 1 ^ 1 /(pcos 0，psin 0)p Ap.

　jjy(x， y)dxdy = jj/(pcos 0 ,pain 0 )pdpdO

　-y* y.2coH 0

　=J , d^ j) /(pros 0,psin 6) p< lp.

　( 3 ) 如图 1 0 - 2 1 ，在极坐标系中， / ) = \ ( p , 6 、彡 p 彡 / ) , 0 彡 0 彡 2 T T , 故

　= J/(pcos 0,psin 0 ) pdpd0

　/-2-

　IT (id /(pros 0 ,psin 0 ) pdp.

　(4) D 如图 10 - 22 所示.在极坐标系中，直线 x

　的方程为 p

　sin 0 + cos 0

　—于是

　sin 6 + cos 6

　f(x , y) dxdy = jj/(pcos 0,psin 6 ) pdpd0 n

　/(pc os 0,psin 6 )

　pdp.

　)\ p=b

　(r P=^\

　— bl— aV O

　10 -22

　jyh x

　图 10-21

　12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:

　(1 )丄心丄/(D'HIV;

　2 >/3\

　(2)

　(|.v f /(/r' + v2)<l

　解 ( 1 ) 如图 1 0 - 2 3 ，用直线 7 = * 将积分区域￡ > 分成￡ > 1， 10 2 两部分：

　{ ( p, 0)

　于是

　(p,e)

　l-X ,sec 6

　rY rcsc 8

　原式 = [ d0[_ /(pcos 6,psin 6)pdp + L d^l /(pcos 0,psin d)pdp.

　( 2) D 如图 1 0 - 2 4 所示 . 在极坐标系中，直线 x= 2 , 射线和 ;r = ^ x( x^ 0 ) 的方程分别是 p = 2sec 6,6=

　^和 0 = ? 因此

　|(pyO) 0 ^ p^ 2 sece, f^ 6 ^ f} .

　又 f(Vx2 + y2 ) = f ( p ) , 于是

　f-Y y.2sec 0 原式 = d0j) / ( p) pdp-

　( 3 ) D 如图 1 ( ) - 2 5 所示 . 在极坐标系中，直线；K = 1 _ x 的方程为 P =

　----- 1 ----- ，圆;K = -/l - x2 的方程为 p = 1 ,因此 sin 0 + cos 6

　(P， e) sin 0 + cos 6

　于是

　原式

　/(pcos 6 ,psin 0)pdp.

　( 4 ) / ) 如图 10 - 2 6 所示 . 在极坐标系中，直线 * = 1 的方程是 / > = s e c 心抛物线 y = / 的

　方程是 psin 0= p2c: os2( 9, 即 p = tan 伽 e( . 0; 从原点到两者的交点的射线是没 =

　D = < ( p， 6 )

　于是

　rT rser 0

　Jlan O^ec 0

　原式 = [ d没

　/(p cos 6,p sin 6)pdp.

　( 3 ) [ dx i( x2 + / ) - 了 dy

　. s/la

　x ("A

　‘ A y2 ) d ：

　j；

　rti. v ；

　( 4 ) d>

　( . r2 + y2 )

　CIA

　解（ 1 ）积分区域 D 如图 10-27 所示.在极坐标系中，

　于是

　0 = ip,6 )

　0^ p^ 2aros 0,0 ^

　原式 =i ide p 2 'pdp = i i\ 0

　4 aA [ c( 、 s4 0 (W = 4 aA

　注在多元函数积分学的计算题中，常会遇到定枳分 sin' 4 如和 j/ , - os^ , ） ^ . | M

　此 i 己住如下的结果是有益的：

　rr./.

　/ .

　I .

　^ ..

　3 ..

　......

　3 了

　I TT 、j , - /…似 T" ， n 匆

　I[ . 偶数，

　（ 2） m 1 0 - 2 8 , 在极坐标系中 ,

　i 13.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：

　于是

　id6 j) p - pAp = yj^ secJ6d6>

　/-rtsec 0

　=-—[sec ^t a n 6 + l n( sec 6 + ta n d) ] 4 6o

　=~o~[

　+ ln( J2 + 1 )].

　( 3 ) 积分区域 D 如图 10 - 2 9 所示 . 在极坐标系中，抛物线 y = X2 的方程是 psin 没

　p: cos2 没，即 p = tan 6 sec 0; 射线 y= A；(:t 彡 0) 的方程是 0 = 子，故

　"=\(p,0)

　0 ^ ^ tan Osec 0 , 0 ^

　J-

　寸:是

　原式=

　x.|an Unt-r 0 j 7'p，lp

　tan 没 sec. 0 ( \ & = \ sec* 0 ] 4-

　y/ 2

　(4)积分区域

　( p, e)

　原式

　[ ; (w f, - p^p = f-^r - fa '

　114.利用极坐标计算下列各题：

　( 1 ) Ife^ ^ da, 其中￡ ? 是由圆周 ; c2 + y2 = 4 所围成的闭区域；

　( 2 ) | ln(l + x2+ / ) dC T , 其中 D 是由圆周 : t2+ y 2 = l 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；

　( 3 ) Jarctan —da , 其中 D 是由圆周 ; c2 4- y2 = 4 , . r2 + y2 = 1 及直线 y = 0，、=

　D x 所围成的在第一象限内的闭区域.

　解 ( 1) 在极坐标系中，积分区域 I ( p, 0 ) | 0 矣 p 彡 2, 0< 0 矣 2TT; ，于是

　fT〆”'-, ^

　■ - r2^ r2 ^

　， re〆1

　d(j

　p dp (\ 0

　AO I ep 9 p dp = 2 TT

　TT( e - 1 ).

　( 2) 在极坐标系中，积分区域

　[ ln( 1 + x2 + j2 ) do* = j j l n ( 1 + p2 ) pd pd d = d0 f ln( 1 + p2 ) pd p

　yln( 1 + p2 ) d( 1 + p2 )

　j- I

　子 [(1

　+ p2) ln(l

　j^ pdp]

　TT ( 21n 2 - 1 ) . ( 3 ) 在极坐标系中，积分区域 0 = ( p, 0 ) 于是

　1 arrlan

　——

　iil5.选用适当的坐标计算下列各题：

　(1)

　其中 0 是由直线 1=2,7=文及曲线邛=1 所围成的闭区域；

　D y

　( 2 ) |^/|

　~ ，其中/＞是由圆周;c2 +/ =】及坐标轴所围成的在第一

　象限内的闭区域；

　( 3 ) J ( x2 + ) 2) 如，其中 / ) 是由直线 7 = ：

　1，7 = 1 + 6 1 ， 7 = 6 1 ， 7 = 3 0 ( ^ 1 ＞ 0 ) 所围成 D

　的闭区域；

　( 4 ) | yx 2 + y2 d( r，其中￡＞是圆环形闭区域丨 Uj) 丨 a2 矣 / + y2 ^ b2 \ .

　解 ( 1 ) Z) 如图 1 0 - 3 0 所示 ? 根据 / ) 的形状，选用直角坐标较宜 .

　D = \ ( xyy)

　^da = 丄 d^ : ^jdy = | (-x + x3 ) dx =

　( 2) 根据积分区域的形状和被积函数的特点，选用极坐标为宜 .

　I ( p, 0)

　原式

　f r p(|p = “ 7^ — l p

　(77-2).

　（3）D 如图 10-31 所示.选用直角坐标为宜.又根据/）的边界曲线的情况，宜采用先对^后对 y 的积分次序.于是

　j j ( x2 + j 2 ) d c r = J d y ( x2 r2 ) d . \

　lay2 - a2y - f- —Idy = 1 4 o4 .

　x2 + y2 da

　2TT

　= ||p

　pdpdO = [ dO p2Jp

　2TT m — ( b' - a

　b- cr ).

　Sal6. 设平面薄片所占的闭区域由螺线上一段弧（ 0 矣 0 莓 j）与直线 0 = ; 所

　围成，它的面密度为 M（ x， y ） = x2 + y2 . 求这薄片的质量 . 解薄片的质量为它的面密度在薄片所占区域/）上的二车:积分（[ ] 10-32）.即

　m K) - 3 ：

　Jj] u( x， ; y)d a

　pdpdO

　^ x2 + j2 ) da

　[、 TOP

　二 4[ '

　= ^ r.

　cM 1 7 . 求由平面 y = 0， )

　/ ：

　>0 ) ,z = 0 以及球心在原点、半径为尺的上半球面所

　:arctan h,

　围

　y2da = | yw -

　p2pdpd0

　成的在第一卦限内的立体的体积.

　p2p(ip =a (-

　arctan k.

　d 18.计算以 . rOy 面上的圆周 :t 2 ■ y2 = ax 围成的闭区域为底，而以曲面 2 =*2 + / 为

　顶的曲顶柱体的体积. 解如图 10-34,设

　- I ( x, y) | 0 ^ j ^ / ax - A:2 ,0 ^ A: ^ a | =

　| ( p , 0 ) | O ^ p ^ acos 9,0

　由于曲顶柱体关于面对称，故 V = 2 ff ( x 2 + y2 ) ( lid)

　facoa 0

　2 J] p2 P^P^O 二 2 丄丄 p\\p

　|冬 MO -33

　2 4-fT- |in1(2) - 3 4 2

　注在计算立体体积时，要注意充分利用图形的对称性，这样既能简化运算，也能减少错误

　^1*19.作适当的变换，计算下列二重积分：

　（1 ） J（x - y） 2sin2（x + y） dx（ Iy, 其中 / J 是平行四边形闭区域，它的四个顶点是 /）

　（ 7 T ，0 ） , （ 2 T T , 7 T ），（7 T ，2 7 T ）和（0 ，T T ） ; （ 2 ） Jx2d.vdy，其中是由两条双曲线 w = 1 和 X） = 2 ,直线）=.r 和 y = 4A 所 1）

　围成的在第一象限内的闭区域；

　（3）（fe5d.rdy，其中￡?是由.v 轴、）■轴和直线.r + .r = l 所围成的闭区域；

　解（1）令^=欠-/，1；=无+ 7，贝|】：1：

　= - ~2~'在这变换下，的边界 I y = - IT , x y = IT , x - y = TT , x + y = 3i r 依次与 u = 一 TTr = TTu = TT；

　= 3 T T 对应 . 后者构成 aOi；平面上与 D 对应的闭区域 / ） ' 的边界 . 于是

　D' = \ { U ,v） | 一 71'$“$77,77<"$311:（图 10-35）.

　V 371

　71 一

　* ) ^ si ir ( v +>) <1 vd、

　-71 O

　(b)

　3 (.'，，V) < l(u , v) i\ m\i

　IT4

　2 d w sin2f；dy

　( 2) 令 W = A：y， = 上，贝

　Ij A：

　1 卜 IT \JL

　T ］ . y.

　sin 2 v4' ^ -

　YLU

　\ / uv- 在这变换下， D 的边界 xy = 1，y = ^ ，叮 = 2, ) = 4 x 依次与 u = \Jv = \ , u= 2, v= 4 对应，后者构成平面上与 D 对应的闭区域 " 的

　因此

　■Ju

　d( x, y)

　2 y~uv

　d( u, v)

　■Ju

　2 Ju

　2 Jv

　fj^ 2 y2 dxdy - h2 2.

　-2—v dudv =

　2v D.

　—v dv

　( b)

　边界 . 于是 D1 = \ ( u, v) | 1 彡 a 彡 2 ， 1 彡 i; 彡 4 丨 ( 图 1 0 - 3 6 ) 又

　阁 10-36

　( 3) ^ u = x + y ,v = y x =

　= 则在这变换下， / ) 的边界 7= 0，％ = 0,

　% y - \依次与 r = ( )，a = ^ ，w = 1 对应 . 后者构成 wO; 平面上与 D 对应的刚 K 域 / J 的

　边界，于是

　D' = \ ( u y v ) \ 0 ^ V ^ u,0 ^ u ^ \ \ .

　又

　y = f| ^ | = ' —丨

　因此 \^ef^(\xAy = JJe7du dv = ^ (Jw 丄 eTdf’ =丄 u( e - 1 ) CJM

　= +(e-".

　{x = apcos 0 ,

　((2>0， />>0,/)彡 0,0 彡没彡 211) . 在此变换

　y - bp sin

　下，与 D 对应的闭区域为“二丨

　（ p， 0） | 0 彡 p 彡 1 彡 2TT1 . 又 j d（ x, y）=

　d（Pe）

　acos 0 6

　— apsin

　a bp.

　%^ \

　bs'm 0 bpcos 8

　rr ~

　TX 1

　'—Z + ^ - dxdy = 〆 abpdpdd = ab I I p ’dp = — abir.

　1*20.求由下列曲线所围成的闭区域 D 的面积：

　（ 1 ） 0 是由曲线 xy = 4 ，xy = 8， xy3 = 5 , A; J3 = 1 5 所围成的第一象限部分

　的闭区域；

　( 2) Z) 是由曲线 y=，

　:围成的第一象限部分的闭区域.

　y = 4 / ,x = y ,x - 4 yJ 所解 ( 1 ) u = xy ,v = xy3 ( a: 彡 0y 彡 0 ) 贝 lj x 对应的 uOi; 平面上的闭区域为；

　. D' = | ( u, v) | 4 ^ ^

　^,7 = 在这变换下，与 D

　15 !

　d( u, v)

　/ - 心， y) _

　于是所求面积为

　JJdxdy

　rr 1 JJ 2；=v

　If8 :丄心

　15 1 —V dv - 2 In 3 .

　（ 2）令

　下，与

　xJ y'

　■ （ : r > 0，y > 0），贝 lj x = u~ T v~ T, y = u ~ T v ~ r . 在这变换

　j = d( x, y) = d(u , v)

　( l/vd r

　-u 8 v

　■ T

　于是所求面积为

　/I = | | dxdy

　u ' i\ll

　D 对应的 aOr 平面上的闭区域为 D' = 丨（《 . ， / ，） | 1 彡 w 彡 4 丨彡 r$ 4 | 又

　Ea* 2 1 . 设闭 K 域《是 I h 直线 i + y = l, .r = 0 , v = 0 所闱成，求证

　证令 u 二 :c - y，r = A: + y，贝 lj x

　-dad 7；

　在此变换下，D 的边界 x +y = 1 , dv

　D'=

　d( x，

　d( u, v)

　因此有

　^ - y) x + y)

　dxAy TI

　Av I cos—dav \

　a= 0, y= 0 依次与 v = 1， u+ y= 0 和 v - u = 0 对应 . 后者构成 aOt; 平面上与 Z）对应的闭区域 Z） ' 的边界（图 1 0 - 3 7 ）于是

　v sin 1 dv = —sin

　证毕.

　^ 22.选取适当的变换，证明下列等式：

　(1 ) jj/(x + y) <i x< \ y = J t/ ( u) du, 其中闭区域 O = | ( x, y) | | a：

　| + | 7 I ^ I I ; ( 2 ) jj/( a x + by + c) dx dy = 2J ^ -J 1 - w2/( u sj n2 + If2 + c )i \ u,其中 ’)=\ (x , y) |

　i> X2 + y2 ^ 1 | , R 2 + b2 ^ 0 .

　证 ( 丨) 闭 IX 域 " 的边界为 x + y = - \ , x + y = \ , x - y ^ - 1- y = 1，故令〃 = z +

　y，《；=文-y，即 * = +，:K = Y 在此变换下， " 变为》丸平血丄的闭 1 只 : 域

　3“， y) d( u, v)

　—— dwell ；

　2 于是 J/O + y)dxdy = Jf( u)

　i) 证毕.

　f—/■㈤ d“/_

　( 2) 比较等式的两端可知需作变换

　/( u) du.

　u ya2 + b2 = ax + by, 即 u = 似 + j_ Va2 + b2

　再考虑到

　的边界曲线为

　2 +y

　= 1,

　故

　令

　这

　样

　就

　有

　u2 + v2 = 1，即 D

　的边界曲线 / + / = 1 变为 uOv 平面上的圆 u2 + v2 = 1. 于是与 D 对应的闭区域为 D' - )

　(u , v) \ a2 + y2 ^ 1 | . 又由的表达式可解得

　x au + bv y/ a2 4- b2

　bu - av

　a1 + b2

　因此雅可比式

　于是证毕

　d(u yv)

　sj a2 + b2 v/ a2 + I) 2

　jj/ ( ax + by + c)dxdy =

　u /a2 + b2 + r) | - 1 | du dv 、 / 1 - ii! j{ u \ / + / 广 + c) ih/ .

　./r - /rv

　/ ( u \ / n2 + /〆 + < ) dr

　三重积分

　w 1. 化三重积分 / = j| y( . t， y， z) ckdydz 为三次积分，其中积分区域/2 分别是 : n

　( 1 ) 由双曲抛物面及平面 x+ y-l = 0， z= 0 所围成的闭区域 ;

　( 2 ) 由曲面 z =

　2 7

　及

　平

　面

　i 所围成的闭区域；

　( 3 ) 由曲面 - n2 + 2 y2 及 z= 2 - x2 所围成的闭区域；

　( 4 ) 由曲 cz= xy( c> 0 ), ~ + 面

　,z = 0 所围成的在第一卦限内的闭

　区域

　解 ( 1) 的顶和底面 z= 0 的交线为 x 轴和 y 轴，故在面上的投影区域由 . r 轴、 y 轴和直线 x +y - \ =0 所围成. 于是/2 可用不等式表示为

　因此

　d.r Ay I f( x, yyz) dz.

　( 2) 由 z = x2 + y2 和 z = 1 得 x2 + y2 =丨，所以/2 在 xOy 面上的投影区域为 x2 + ) ' 2 矣丨(图 10-38)./2 可用不等式表示为

　;t2 + y2 矣 z 矣 1 ,

　- s/\ - X1 矣 > . 这 y/ l - X2 ,

　- 1 矣；C 备 1，

　因此

　+ 2.f(x,y,z)c\z.

　(3)

　+ ' ，消去 2 , 得丨 + y2 = 1 ? 故 / 2 在面上的投影区域为 . t2 +

　[z=2 -x2

　/霉 1(图 10-39) 于是/2 可用不等式表示为

　因此

　A:2 + 2y2 ^ z € 2 - X2, - 」 \ - x1 ^ j ^ J\ - x2 , - I ^ A: 1 ,

　~*2

　dX/

　rr7

　r^/^ /(jC，y，2> 2

　z=2-x1

　图 10-38 图 10-39

　( 4 ) 显然在 ; 面上的投影区域由椭圆 ~ + ~ = 1 ( . r 彡 0 o' 彡 0 ) 和 . v 轴，v 轴

　Ub 所围成，的顶为 cZ = A：

　y，底为 Z 二 0 ( 图 1 0 - 4 0 ) . 故 / 2 可用不等式表示为因此

　图 10-40

　注本题中的 4 个小题，除寒 2 小题外，的图形都不易 | 明出 . flJ. 是，为确定次枳分的枳分限，并非必须画出 i7 的准确图形 . 重耍的是要会求出作坐标曲 I. . 的投影区域，以及会定出的璃和底面，而做到这点，只需掌抿常见曲而的；;

　秆和 m if; 特点，并具备一定的空间想象能力即可 . 木草题解中 : 配了较多插阁，沾汝 m 观察，这对培释牵间想象能"是存好处的. 2a 2.设有一物体，占有空间闭 K 域 = 1 ( 'v ，：) | ( . ) 矣.》矣 I .0 莓)琴 1. ( ) n 1 ; , (x, y, z ) 处

　的密取为 f ) ( x, y, z ) = \ + \ +; , | | ^ ：

　该物休的吨 1| 1: . 解 M - jjjpd.vd \ (b = | (|.\ | (I t | ( v + \ +

　X + T + Yr

　3 . 如果三重积分 | [ / ( x,y,z) dxdydz 的被积函数 / ( x， y〆)是三个函数/, (*)，/2 ( y )， n

　/3U)的乘积，即/(x， y， z) =/丨( x) f 2 ( y) f 3 ( z ) ，积分区域 I ( x, y, z) \ a^ x^b , c ^ ) 矣 dzm : , 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积，即

　fff/i (x)f2( y )/3(2) dardrdz = [ f^x) Ax [/2(j)cly f f3(z)dz.

　Uf/i (x) f2 ( y) h(z ) dxdydz n

　d.r = HI (I /1 ( * ) / 2( 3^ ) / 3( 2) ^ ) ^ ] '

　= J J i ( f , ( ^ ) / 2( y ) - j f / 3“ ) 心卜]1 j dx

　=I [ ( | 7 3 ( ^ ) ^ ) * ( l/,(^)/2( 7) ^ ) ] '

　lck

　=({ ,3(z)d2). {, [/々 )-lr/2(y)dy]dx

　ptn

　rlf

　= I /3 ( 2 ) d z

　J / 2( r ) d r

　juf\(x )d x =右端.

　. 4. 计算 jjjx}.2z3 dxdydz, 其中 /2 是由曲面 dy，平面 y = : t，x = l 和 z=0 所围成的闭

　解如图 ] 0 _41 可用不等式表示为

　0 ^ z ^ xj, 0 ^ y ^ x, 0 ^

　K 域. 1.

　Jx y2 z ^ 1 ilx dy dz = ^ xd x jf y2(ly 丄 dz

　i5 . 计 Jjj ( I + x d+jyjd+. y,zd)其z 屮 / 2 为平而 .t = o，y = o，z =()，* + r + ^ 算四面体.

　所闹成的

　解 n = I (x,y,z) I

　I - AT - 7, 0^ 7^ i -*，()《“ 1 I (阁 1(> _ 4 2 ) ’ 十坫

　<lx,\v<h

　r' dr 'x' x I广( \ y1

　1 + .T +(lzy + 2) 3

　8 2( 1 + x + y) 2 dr -

　4 图 10 -42

　iii 6 . 计算 HxyzAxdyilz. 其中为球面 / +.V2 + z2 - 1 及二个坐标面所围成的在第 n

　卦限内的闭区域. 解法一利用直角坐标计算.由于 f i = I ( x , y , z ) | 0 ^ z ^ /1 - x 2 - y 2 ,0 矣 y 矣- J 1 - .r2 ,0 ^ .v ^ I | ,

　故

　:(1:

　x d x vr

　y( > -

　( 1A

　v( 1 一 .' *■)、l v = YJ- 4o

　解法二利用球面光标计算，「ii 于

　"=| (

　I 0 ^ r $ I ,0

　^,0

　jjjxyzAxdyAz = jjj( r3sin2 屮 cos <psin Ocos 0 )

　r2sin ( pArA< pA6

　sin 0cos 8 d6 I sin3^>cos ( pd(p I r5 dr

　s i n 2 ~2~ r4

　汐 20

　si n 4cp 0 U J

　Y" ' T " ~6~ = 4 8

　注比较本题的两种解法，显然用球面坐标计算要简便得多，这是由本题的积

　分区域的形状所决定的 . 一般说来，凡是由球面、圆锥面等曲面围成时，用球

　面坐标计算三重积分较为方便.

　"cji 7 . 计算 jjjxzdxdydz,其中是由平面 z = 0 , z = y,y - 1 以及抛物柱面 y = x2 所围成的闭 n

　区域. 解法一容易看出，的顶为平面 z = 7, 底为平面 ^ = 0, 在 Wy 面上的投影区域

　0 由 y= l 和 7= / 所围成 . 故可用不等式表示为 0 备 z 莓 y,x2 :S y 矣 1 , - 1 筅 x 矣 1 .

　因此

　jjj xzdxdyd2

　xdx

　解法二由于积

　xdx

　分区域关于 yOz 面对称(即

　若点 UJJ) ￡/2，则(-tyj) 也属于 / 2) ，且被积函数 * 2 关于 * 是奇函数 ( SP( - x) z= - ( a))，因此

　j^xzdxdydz = 0.

　la . 计算 jjjzdxdydz，其中 /2 是由锥面 Z = ~ ^ A2 + y2 与平面 z = / i( /

　> 0，/i > 0) 所 _ 成的闭 K 域 .

　故在；

　cW 面上的投影 fx:域 o

　fl = I ( x, y, z)

　解法一 fh z =去+ y2 与 z

　消去 z，得

　= 2

　、 = \ ( x , y) \ x2 + y2 ^ R2 \ ( 1 ^ 1 1 0 - 4 3 ) ，

　去 y/ x2 + y 2 ^ z ^ h, { x, y) e OXJ J-

　J 二是

　TTR

　-j：

　zd.rdyd = dxdy

　; ( x 2 + y 1 ) dxdy R2

　H( /izjda：dj 2

　x2 + y2 ) dxd)

　[ 60 l P}dP = \^2h2.

　h^_

　2R2 解法二用过点（ 0, 0, 2）、平行于 . rOy 面的平面截得平面圆域 0:，其半径为

　，面积为(图 10-43).

　O - | (xyy,z) | (x,y) e Dz,0 ^ z ^ h \ .

　于是

　jjjzdxdydz = n

　zdzjjdxdy i),

　较尚使.

　R2k2. 注解法二通俗地

　称为“先重后单”法. 即先在 D: I ：

　作关于 .V、、的二氓积分 . 然后再对^作定积分.如果在 02 上关于 . t 和 v 的二重枳分易于计算，特别地.如来被枳函数与 x， y 无关，且 R 的面积容易表达为 2 的闲数，则采 HJ 这种 / / 法比

　* 解法三用球而坐标进行计算 . 在球而坐你系中，N 锥面：

　= 7 + 7 的

　力 A

　=arcl an 了 j，平而：

　的力 ft! A r = / ， ser 妒，闪此 17 "j & ' h

　于足

　为 0 ^ 0 2 TT ,0 ip

　a , 0 ^ r ^ //ser if.

　jjjzdxdydz = Jjjr cos (p r2 sin cpdrdcpdO

　irh4 / R2 + h2

　CTT fa d01 cos (p sin (p

　r3dr

　rft /i4sin (p d(p

　4cos' ip

　irh4 ra d( cos <p)

　COS (p

　irh4 , I- ' c o s a

　代入 Q：

　= arctan

　UM9 . 利用柱面坐标计算下列三重积分：

　(1 ) jjzdv，其中/2 是由曲面 z - x1 -y2 及 z-x1 + y2 所围成的闭区域；

　(2) jjj(x2 + y 2 ) d r , 其中/2 是由曲面 x2 + y 2 = 2 z 及平面 2 = 2 所围成的闭区域. n

　解(1)由

　-X1 - y 2 和 z = x 2 +y2 消去 z , %

　(x2 + y2) 2 = 2 - (x2 + y2 ),即 ;r2 + y2 = 1.

　从而知在 .rOy 面上的投影区域为 I U , y ) h 2 + y 2 彡 1 丨 ( 图 1 0 - 4 4 ) . 利用柱面坐标，/2

　可表示为

　p2 彡 Z

　- p2 ,0 彡 p 彡 1 ,0 矣 0 矣 2-n,

　p(2 -p2

　-〆)<lp

　2 TT于[ 是- co s

　P1 _ P!

　6 J0 12 IT.

　( 2 ) 由 x2 + y2 = 2 2 及 2 = 2 消去 z 得 JC2 + y2 = 4 , 从而知在 ; 面上的投影

　区域为'、.=I ( x , y ) | x2 + j2 ^ 4 | . 利用柱面坐标，可表示为

　jjj( x2 + y2)dv = jjjp2

　pdpdddz = n

　d^ [ p'dp

　el P!

　= r⑽ fp3(2 - 誓 ) 知 = 2IT 2 12

　￡a* 10.利用球面坐标计算下列三重积分：

　( 1 ) jjj(x2 +y2 + 2 2 ) 如，其中/ 2 是由球面彡 + 7 2 + 2 2 = 丨所围成的闭区域；

　( 2) 瓜 z d v ，其中闭区域/ 2 由不等式^ + y2 + ( ^ - a ) 2 ^ a 2 , ^ 2 + y2 彡；:2 所确定. n

　解(1 ) j j l ( x 2 + y 2 +

　) dv = jjTr2 r2 sin cpdrdcpdd

　/-2 TT TT

　=I dffl sin ipi\ip\ r4dr

　TT.

　( 2) 在球面坐标系中，不等式 . t2 + j2 + ( z - a ) 2 ^ a 2 ，即 .r2

　^ 2az

　变为 r2 < 2arcos c p，即 r < 2acos 屮；

　x2 + y2 $ 22 变为 r 2 s \ n2 ( p ^ r2 cos、，即 l a n i p

　亦即<P 彡因此 / 2 可表示为

　0 $ r < 2ac*os (p ,0 ^ 0 彡没彡 2 ir( 图 1 0 — 45).

　^ TT

　于是

　f 如 JH (p

　r2sin ( fdrd( pc\ 6 n n

　cos i

　5dr = 丄 cos ( ps\n < pd< p 丄 )

　dO 丄 cos (psin (p

　— ( 2acos ( p) 4 d<p

　2 TT I 4 a4cos5<^sin ( pd(p

　8ua

　cos cp

　^ 11. 选用适当的坐标计算下列三重积分：

　Tra .

　(1 ) jjlxydv，其中为柱面 . v2 + y2 = 1 及平面 z = 1，z = 0 ,x = 0 ,y = 0 所围成

　的在第一卦限内的闭区域；

　* ( 2 ) J - Jx1 + y2 + z2 dv，其中是由球面 x2 + y2 + z2 = z 所围成的闭区域；

　( 3 ) |[(*2 + 72) 心，其中是由曲面 4z2 = 11

　闭 K 域；

　25(*2 + / ) 及平面 z = 5 所围成的

　* ( 4 ) Jlu2 + y2 )dw , 其中闭区域由不等式 0 < a x1 + y2 + z2 ^ A ,z ^ 0 PJ\ 确定 .

　解 ( 1) 利用柱面坐标计算 . 可表示为 TT

　于是

　Ky(\v = jjjp2 sin 6cos 6 p(\p(\0t\z "

　|| =^ si n Or on 0^0 ^ pM p 丄 fl z

　sin2 ^1 2 f)A

　( 2)在球面坐标系中，球面

　■ z2 - z 的方程为 r2 = r(.os 屮，即 r = (.(，s 妒./i nf

　表示为

　0 ^ r 5 ^ cos <p ^0 ^ (p ^ ~~ ~ , 0 ^ 0 ^ 2 T T( I 冬 MO - 46 ).

　于是 (3)

　于是

　利用柱面坐标计算.可表示为 — p ^ ^ 5 , 0 ^ p ^ 2 , 0 ^ 0 ￡：

　2 TT( 图 1 0 _ 4 7 ) .

　- 27T -JP -可 f)

　* ( 4 ) 在球而坐标系中，"f 表示为 rt ^ r ^ /1,0 ^ ^

　TT.

　^ ( 夺) ( ￥ ) = > 5 - ^

　d 12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积：

　( 1 ) z = 6 - . r2 _ 及 2 = + X1 y2 ;

　* ( 2) A-2 + r2 + z2 = 2 a z ( a > 0) 及 x2 + / = z2 ( 含有 2 轴的部分)；

　( 3 ) z - y.v2 + y2 及 2 = x2 + y2 ;

　( 4 ) z = s/ 5 - X2 - y2 及 A:2 + y2 = 4 z.

　解 (1 ) 利用直角坐标计算 . 由 z = 6 - x2 - y2 和 z = 7*2 + y2 消去 z 解得

　因此 A2 + y2 = 2，即在 . rOy 面上的投影区域 A, 为 + y2 在 4 . 于是

　fl = I (x,y,z) | s/x1 + y2 ^ z ^ 6 - (x2 + y1) ,x2 + y2 ^ 4|. ￥ l f, v = dxdy 11 +> >dz

　= Jr[6 - ( A:2 + y2 ) - yx2 + y2 ] dxdy( 用极坐标 )

　r2 lT rl

　d^l

　(

　6=nL

　- p2

　2 "

　[一3 pp2 4

　)

　-p

　p 3

　= Y-

　注本题也可用“先重后单” 的积分次序求解：

　对固定的 Z，当 0 彡 Z 彡 2

　时， = \ ( x, y) I X2 + y2 彡 z2 | ;

　当 2^ < 6 时， 0: = I ( xyy) | x2

　+ y2 ^ 6 - z| ( 图 1 0 -48)于是

　i \ D2(2 彡 z 彡 6)

　i— b1-54T

　(0^2)

　I?| 1() 48

　r2 ’

　dz d.rdr

　cbJ^d.Tt lr

　)利用柱于面是坐* 标( 2 计) 利用球面坐标计算 . 球面 x 2

　算?曲面 2 = /\.2 + V2 和 2 = . 2 + . V2 的

　2 az 及圆锥面 ; r2 + y2 = 22 的球面坐

　忡而坐标

　疗程分别为 z二 p 和 2 = p2 . 消去 z，

　0 ^ r ^ 2 a cos

　了， 2TT | ( 图 10 - 45 ).

　r 2 s i n (pdrd(pd0

　得 p=

　1，故它们所闱的

　r^. TT r 4

　l (H si”H r

　f 厶 Ul’US if

　■ dr

　立体在 1

　8a3 .

　Z T T - - - - - s i n (pros (pd(f

　m 而| .的

　投影 K 域

　1 6 IT o

　COS ( f

　为 p ＜丨

　注本题若用“先重后单”的方法计算也很简便.

　( 图 10 由 x2 + y2 + z2 = 2az 和 : r2 + y2 = 22 解得 z = f l 对固定的 2，当 0 彡 2 $

　49). 1*1 时，

　lit Dz - \ ( x , y ) \ x 2 +f y 2 ^ z 2 \ ^ a ^ z 2 a y D z = | ( A: ,y) | .v2 4- y2 2 a z - z 2 \ .

　于是

　V= V\

　dr d.vch +

　(I: dvdv

　HZ"

　iv(2az - z'' ) dz

　l\z

　+ ur/ ' = TTO：

　) 于

　是

　= J"‘v p

　TTZ~dz + 7T (6 - z) Az

　= 2 订丄 P(P - p 2 ) d p =

　(本题也可用"先重后单”的方法方便地求得结果，读者可自己练习.)

　(4) “先重后单”的方法计算.由 z y2 = 4 z 可解得 z = 1

　在直角坐标系中用 ^ 〆和^ +

　jf TT V= V1 -h v2

　4 zdz + TT( 5 -

　zj2^)ddxzdy5

　+ 2

　dz^jdxdy

　对固定的 Z，当 0 彡 2 彡 1 时， Z) , = \ ( xyy) \ X2 + y2 ^ 4 z\ ; 当 1 彡 z 时， Dz

　( x, y)

　\x2

　2 +y

　z2 \

　(图

　10 - 50).于是

　2 TT + TT 5 z

　■ n( 5 j5 -4 ).

　(本题用柱面坐标计算也很方便，请读者 A 己练习.)

　图 10-49 Eu * 1 3. 求球体 r 矣＜ /位于锥面＜p

　7 图 10 -50 f 和＜P = + TT 之间的部分的体积 .

　解用球面坐标计兑 _ 记 / 2 为立体所占的空间区域，有 sin tp＜ l(p

　1 4. 求上、下分别为球面 x2 + y2 + z2 = 2 和抛物面 z = x2 + y2 所围立体的体积解由；《2 + y2 + z2 二 2 和 z

　= x2 + y2 消去 2，解得 x2 + y2

　= \ ■从而得立体" 在；

　面

　上的投影 K 域 / 入 , 为 x2 + / 矣

　1 .于是 fl - | (x , y, z) \ x2 + y2 ^

　-/2 - x2 - y2 , x2 + ＞2 ^ M ■

　- ( X2 + y2) ] dxdy( 用极坐标 )

　( A/2 - p2 - p~ )pdp - IT.

　注本题也可用“先重后单”的方法按下式方便地求得结果：

　F = dz JJ dxdy + JJ dxdy 3 + V：€2-i*

　TTJ (2 - z2 ) dz + TTI zdz

　4 j2

　- 7 T + 72—T

　2a*15.球心在原点、半径为 fl 的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距

　离成正比，求这球体的质量.

　解用球面坐标计算 . 为；

　c2 + / + Z2 矣尺 2，即 r 矣 /

　JjjM( x , y, z) dy = Jj^/cr r2 sin ipdrd^ jd^ n k I (WI sin (fdcprKI r

　dr R4

　kirR .

　2TT

　.按题设，密度函数 fj i (x,y,z) = k- J x2 + y2 + z 2 = kr{ k > 0 ) . 于是

　重积分的应用

　& 1. 求球面 x2 + y2 +Z2 = a2 含在圆柱面 ; K2 + y2 = .r 内部的那部分而积 . ill [Hi 面的对称件得所求面积为

　解如图 10-51，上半球面的方程为 Z =

　/a2 - .v2 - v:.

　dz _

　-x

　Sz _

　-y

　扣一 vV - x2 - r ’ 办 — v / V

　d, dv= aa￡ L4 fli

　;(ip

　= j) ( 1 - sin 6) d0 - 2a2 ( IT - 2 )

　ip dp cl ^

　2.求锥面 z = v/V + J2 被柱面 z2 = 2；1 所割下部分的曲面面积 .

　解由卜 =v ^ + 厂 ’ 解得 AT2 + y2 = 2^，故曲面在 xOy 面上的投影区域 Z= I . ' 2 = 2 x 被割曲面的方程为 Z = Vx2 + J1 , ( x,y) | AT2 + v2 2x\ (图 10 - 5 2 ) .

　于是所求曲面的面积力

　^ = JJ "

　= 7 ^ " . ( " 的面枳 ) = N/ 2TT-

　^3.求胧 N t.径相等的两个讧夂 N 柱面 ^ X2 +y2 = fi1 R X2 + = R1 所围立体的表面积 .

　解如阁 m - 53 设第 - 卦限内的立休犮而位 T 关柱而；《：2 + z 2 = 2 上的那一部分

　的面积为 / ! ，则山对称性知全部表 Ifll 的面积为 1M.

　故全部表面积为 ! 6?2 .

　rK -R I dx = / ",

　^ 4 . 设薄片所占的闭 K 域 D 如下，求均匀薄片的质心：

　1 ) D 由 y = - / ipx, x - x() ,j = 0 所围成；

　( 2) D 是半椭圆形闭区域 ( , v, v)

　yipxdx /2

　二 —-

　d.rdy =

　J d. vj^ ( 1)

　v z/，v

　( 3 ) D 是介于两个圆 p = acos O . p = /H-OS G { 0 < a < b) 之间的闭 K 域 . 解 ( 1)

　设质心为

　r v o r V^ - Px

　j .V(J.t(Jy = J Jt d.rj d 1

　y2 px2 d.v

　Jyclxdy

　广广

　L J(,V

　l)Xn

　)小=J，.'.'1.'.

　于是

　d.v

　- y2 l,xo

　x = —- ^d.rdr = —x

　A JJ

　5()

　故所求质心为

　( 2 ) 因 o 关于 y 轴对称，故质心 U . n 必位］ ■ V 轴|:，于迠 r = o .

　-abl 4b

　nab

　3^*

　W此所求质心为

　V 3TT/

　(3)

　因 / ＞关于 ^ 轴对称，故质心 ( 乙 7)位于 A 轴上，于是 F = 0 ( 图 1 0 - 5 4 ) .

　^(J.rcJj = JJpcos 0 p(\p(\0

　fbcos f) cos Odd I p2 (ip

　— a ) \ cos4 Odd 3

　— (/;3 - a3 )

　( / / - a3 )

　a" + ah + I)2 2 (a + b)

　所求质心为

　( , 0^

　2( a + b)

　^ 5.设平面薄片所占的闭区域》由抛物线

　I2 及 1'1:线 7 = ^所 II 成，它在点 U7) 处的

　而密度从 U，y) = ^ y ,求该薄片的质心_

　解

　M = ((x2ydxdy = f x 2 i \ x ( y & y

　I 了 "4 ”6)心=孖，

　\\y^(x ,y )dxi\y - jjx2 y2<h(l)

　—，

　JJj^jx 3 ydxdy ^jLc( x ,y) dxdy -x7)dx

　t是

　—M—

　—

　—， 48

　48， M 54

　35 _

　X= — - = —

　*求质心为（■，尝）_

　& 6. 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为 fl，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的质心. 解如图 1 0 - 5 5 , 按题设，面密度 / zUa） = . r2 + r2. 由对称性知〒 = 7 .

　M = jj( x: + y2 ) clxtly

　y2 ) d v

　My = jjx( x2 + y2 ) dvdy =丄丄(x2 + >2 ) d > it

　所求质心为 ( j.

　, ii7 . 利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心 ( 设密度 p

　* ( 2 ) z = ^ A2 - x2 - y2 ( 3 ) 2 = yx/ a2 2 +- yx22 ,-x y2 =(Aa > a > 0)

　yx = 0 ,7 = 0 ,z = 0.

　0；

　解 ( 1)曲面所围立体为圆锥体，其顶点在原点，并关于 z 轴对称，又由于它是匀质的，因

　此它的质心位于 2 轴上，即有 J = y = 0 . 立体的体积为 V =

　f/^ dxdy zdz

　+I— = +Jf

　Y | y( 1 x2+y2^l

　- Y2 ) J AxA

　故所求质心为 ( 0, 0, 7)

　— 2TT 77

　PL _ P_ 24

　* ( 2) 立体由两个同心的上半球面和文 Oy 面所围成，关于 2 轴对称，又由于它是匀

　质的，故其质心位于 z 轴上，即有 7 = r = 0 . 立体的体积为

　V = ^ (A3 - a3).

　lzAv

　= yf rcos (p

　n r2sin ^ drd^dd

　sin cpcos ( pd(pj r'

　2TT 2TT(A} - a )

　/ t4 - 4

　_ 3 ( / l4 - a4 ) ~ 8( / l3 -

　故立体质心为 0, 0,

　rx3 ) ’ 3 ( / l4 a84( /)1J\ - a} ) 1

　( 3) 如图 10 - 5 6 ,

　= I ( x, y, z) | 0 ^ ^ ,0 ^

　o - x, 0 矣：矣 + 〆 i.

　对称，故

　r" X2 ( a

　-OH

　| 卜 —(a -

　x)y

　f 冬 1 10 -563

　(I,

　n " 7 * 15

　山于立体匀质 H.关于平面

　所求质心为（含 a ,专 a ，士《2）.

　^ ' 8 - 设球休 A 存闭 K 域 / 2 = I （ - r , v. . ' ） | . v2 + 、 W 2 R z \ ，它在内部各点处的密度的大小等

　于该点到平标原点的距离的平方.试求这球休的吒心.

　解作球而坐标系中，/2 H f 农氷％I

　(1.V

　0 ^ r $ 2/^cos ip,

　0^（^^ ^ ,

　：

　2TT.

　球体内任意一点处的密度大小为 2 2^2

　p= x+ y+ z= r

　由于球体的几何形状及质量分布均关于 z 轴

　对称，故可知其质心位于 z 轴上，因此 I = y

　= 0.

　"f"

　IIpdr = M>

　s in (pdr

　2 irj ^/ 5cos5</

　「JW1'

　1 C2 广平

　rcos (p

　= ^- f —/

　r sin cpAr

　6 c o s 7 ( ^ si n ( pd(p = —/,

　HI h 6

　平"

　4，

　故球体的质心为 ( 0 , 0 , 夺 ft) .

　注从以上两题的题解可看出，在计算立体的质心时，要注意利用对称性来减少运算量.对匀质立体来说，只要考虑立体几何形状的对称性(如第 7 题)；但对非匀质立体来说，除了立体的几何形状的对称性外，还需注意立体的质 S 分布是否也具有相应的对称性(如第 8 题). 9.设均匀薄片 ( 面密度为常数 1 ) 所占闭区域 0 如下，求指定的转动惯量：

　\ ) D - \ ( xyy)

　( 2 ) D 由抛物线 : K2 = 与直线 x = 2 所围成，求 ' 和' ;

　( 3 ) D 为矩形闭区域 I ( xyy) | 0 彡 x 彡《，()彡 y 彡/>丨，求，，和^ 解

　⑴' =l{ x2 ( \ x(ly =

　x" dx\

　■Jo1 - X2 (lx

　4 / , r1

　Ax.

　卜式= —A[hr / ' s i r i /cos t nr ns till a / )

　4< ■ / j sin2/(I/ - ^ s i n 4 / ( I / ]

　丄 . 1- 丄 . 丄 . ^ 7 T } b.

　l2 2 4 2 2

　)

　sin ( pd(p =

　.r € 2 ?

　汁算此矩形扳对于 ,v 轴和、轴分别平 Sa 10. 已知均匀矩形板（面密度为常 S M ）的 K；

　和宽分别为和 , 通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯 ! it. 解建立如图 1 0 - 5 8 的坐标系，使原点 0 为矩形板的形心行于矩形的两边，则所求的转动惯 S为 I |.v><l.vilv 、 / 、 B11. 均匀物休（密度 p 为常 W）山 1 1 的 W K 域 /nil llll ITU' * = 0 , |.r I = " , | v | = “ 所 Il; | 成

　(1 ) 求物体的体积；

　(2) 求物体的质心；

　(3) 求物体关于 z 轴的转动惯量. 解(1)如图 10-59,由的对称性可知

　4 ( dx I U2 + y2)dy = 4 jUa"2 + y)dx = yf l 4 -

　( 2) 由对称性可知，质心位于 z 轴上，故 I =j = 0.

　YI H L dv

　对称 rx1

　4 ra ca cx + 广

　zdz

　rJr

　性/^

　jrfO yx

　4+ 2 2 2 +/)办

　=vl' ( a x 4 f y ) + aV + fl5 dA：

　= \5a2(3) lz = jjjpi x2 + y2 ) dv =对称性 4pj、dxj^ dyj( (x2 + y2 ) dz n

　= 4fjj dxj ( x4 + 2x2 y2 + y4 ) (\y 112 6

　& 1 2 . 求半径为 a、高为 A 的均匀阏柱体对于 H 中心而平行于母线的轴的转动惯 S ( 设密度〆=I )

　解建立空间 S 角坐标系，使原点位于圆柱体的中心,^轴平行于母线，则_柱休所 A 的空问闭 K 域

　柱面坐标 r

　| (p,9,z)

　O^ 0^ 2- iT, O^ p^ a,

　于是所求的转动惯量为 I, = jjj( X1 + ) . 2 ) t l f ; = Jjjp2 pdpdffdz

　6U13.设面密度为常量 M 的质量均匀的半圆环形薄片占有闭区域 D = \/ x1 + y2 ^ R2 ,x ^ 0 ；，求它对位于;:轴上点 A/()(0, 0, rt) (

　IF. = G

　图 10 - 60

　(. v. v, 0) I R, ^

　. > 0 ) 处单位质量的质点的引力 F.

　rli.

　解如图 1 0 - 6 0 , 引力元素」 / ^ 沿 x 轴和 2 轴的分量分别为

　C/JL [

　ros "(I" |

　( (I/；

　J_T

　J " . {p2 + < iM~

　和于是

　Jcr x2 + y2 + 112 )T

　dF, = G― ~ a ) ， ‘

　, 2 ">

　\ - T-

　(x + v +

　r, = (^\\

　—

　d( 7

　极坐标

　pros 0

　k ( p2 + " 2 ) +

　"IjO

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